Deducción matemática de la presión y temperatura.
  
Presión

En el marco de la teoría cinética la presión de un gas es explicada como el resultado macroscópico de las fuerzas implicadas por las colisiones de las moléculas del gas con las paredes del contenedor. La presión puede definirse por lo tanto haciendo referencia a las propiedades microscópicas del gas.

En general se cree que hay más presión si las partículas se encuentran en estado sólido, si se encuentran en estado líquido es mínima la distancia entre una y otra y por último si se encuentra en estado gaseoso se encuentran muy distantes.

En efecto, para un gas ideal con N moléculas, cada una de masa m y moviéndose con una velocidad aleatoria promedio o raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de las velocidades, en inglés "root mean square" v_rms = v, contenido en un volumen cúbico V las partículas del gas impactan con las paredes del recipiente de una manera que puede calcularse de manera estadística intercambiando momento lineal con las paredes en cada choque y efectuando una fuerza neta por unidad de área que es la presión ejercida por el gas sobre la superficie sólida.

La presión puede calcularse como:

P=Nmv2/3V  

(gas ideal)

Temperatura

La ecuación superior dice que la presión de un gas depende directamente de la energía cinética molecular. La ley de los gases ideales nos permite asegurar que la presión es proporcional a la temperatura absoluta. Estos dos enunciados permiten realizar una de las afirmaciones más importantes de la teoría cinética: La energía molecular promedio es proporcional a la temperatura. La constante de proporcionales es 3/2 la constante de Boltzmann, que a su vez es el cociente entre la constante de los gases R entre el número de Avogadro. Este resultado permite deducir el principio o teorema de equipartición de la energía.

La energía cinética por Kelvin es:

• Por mol 12,47 J
• Por molécula 20,7 yJ = 129 μeV

En condiciones estándar de presión y temperatura (273,15 K) se obtiene que la energía cinética total del gas es:

• Por mol 3406 J
• Por molécula 5,65 zJ = 35,2 meV

La deducción matemática de la temperatura y la presión bajo la teoría cinética de la materia

Basándose en la teoría cinética de la materia se puede concluir que la temperatura juega un papel importante en la materia ya que esta se modifica de acuerdo al estado en el que se encuentre, cuando ocurre el aumento de temperatura también aumenta la velocidad media de las moléculas así, mayor numero y fuerza que las moléculas chocan o rebotan contra las paredes del reciente, la presión es el resultado de aplicar una fuerza sobre la superficie 

Movimiento Browniano

El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que se hallan en un medio fluido. Recibe su nombre en honor al escocés Robert Brown, biólogo  y botánico que descubrió este fenómeno en 1827 mientras observaba bajo el microscopio pequeños granos de polen suspendidos en agua y observó que se desplazaban en movimientos aleatorios sin razón aparente

El movimiento aleatorio de estas partículas se debe a que su superficie es bombardeada incesantemente por las moléculas del fluido sometido a una agitación térmica.

Este bombardeo a escala atómica no es siempre completamente uniforme y sufre variaciones estadísticas importantes. Así, la presión ejercida sobre los lados puede variar ligeramente con el tiempo, y así se genera el movimiento observado.

Figura 1. Trayectoria de una partícula browniana 

La descripción matemática del fenómeno fue elaborada por Albert Einstein en 1905. 

El movimiento browniano y la teoría cinética de la materia.

La teoría cinética atómica explica fácilmente el movimiento browniano, si se realiza la suposición de que los átomos de cualquier sustancia están en movimiento continuo. Según la teoría cinética,  las partículas  están en constante movimiento, el cual se intensifica al aumentar la temperatura.

• En un material sólido, las fuerzas atractivas son lo suficientemente fuertes como para que los átomos o las moléculas apenas se muevan.
• En un líquido las fuerzas atractivas entre ellos son más débiles, por lo tanto son capaces de moverse con mayor rapidez  en comparación con los sólidos, de modo que son suficientemente libres de pasar unos sobre otros. 
• En un gas las fuerzas atractivas son tan débiles que las moléculas ni siquiera permanecen juntas, lo que les permite que se muevan rápidamente en todas direcciones, de modo que llenan cualquier contenedor y en ocasiones colisionan unas con otras.

Figura 2. Movimiento Browniano en un gas